Corso di laurea magistrale - Area di Scienze MM.FF.NN. - Accesso libero con verifica di requisiti e preparazione in ingresso - Classe LM-40 (D.M. 270/2004)
Lingua: Italiano
Informazioni generali
o Classe di Laurea: LM-40 (D.M. 270/04)
o Tipologia di corso: Laurea Magistrale
o Durata: 2 anni
o Tipo di accesso: Accesso libero con verifica di requisiti e preparazione in ingresso
o Area di afferenza: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
o Dipartimento: Matematica
o Codice corso: J66
Descrizione e obiettivi formativi
Il corso si propone di sviluppare competenze e conoscenze avanzate in vari settori della matematica, garantendo ai suoi iscritti ampia possibilità di approfondimento sia degli aspetti teorici di questa disciplina che delle sue applicazioni.
Sono possibili percorsi formativi differenziati, atti ad integrare e completare la formazione matematica di ciascuno studente. Tuttavia, in ogni ambito vengono sottolineati gli aspetti metodologici al fine di assicurare una profonda comprensione della materia e la capacità di aggiornare costantemente le competenze acquisite. Con l'intento di accrescere le capacità di autonomia degli studenti, e per permettere la formulazione di piani di studio che si adattino alle esigenze di una società in rapida evoluzione, si è previsto un elevato grado di libertà nella scelta degli insegnamenti.
Il percorso formativo è caratterizzato dalla presenza, all'inizio, di insegnamenti intesi a fornire un quadro ampio e organico di argomenti di carattere avanzato nelle discipline fondamentali (algebra, analisi, geometria, fisica matematica, analisi numerica, probabilità). Successivamente, sono offerti insegnamenti a carattere specialistico, volti ad accogliere specifici interessi sviluppati dagli studenti, nonché a coadiuvare lo svolgimento del lavoro di tesi, cui è attribuita una valenza determinante per il compimento del ciclo di studi.
Oltre ad avere un'approfondita conoscenza degli aspetti disciplinari e metodologici della matematica, i laureati magistrali devono essere in grado di esprimere le proprie conoscenze in contesti professionali sia specifici sia interdisciplinari. Lo studente viene sollecitato ad acquisire un contatto diretto con la letteratura matematica, anche a livello di ricerca, e ad affinare le capacità individuali di orientarsi nella consultazione di testi e nella creazione di bibliografie sia in italiano che in inglese. La redazione della prova finale costituisce, tra l'altro, una verifica dell'acquisizione di queste competenze e della padronanza delle tecniche usuali della comunicazione scientifica in ambito matematico.
Sbocchi professionali
Grazie alle conoscenze e alle competenze acquisite, ivi inclusa la mentalità flessibile e l'esperienza accumulata nell'analisi e soluzione di problemi, i laureati magistrali in Matematica Pura e Applicata potranno disporre di un'ampia gamma di sbocchi occupazionali e professionali.
I settori più indicati sono quelli in cui la matematica svolge un ruolo centrale sotto il profilo applicativo o teorico, o quantomeno costituisce un ambito chiaramente correlato quanto a importanza quali, ad esempio: l'elaborazione e l'analisi di modelli a supporto dei processi industriali e finanziari; l'analisi statistica dei dati; la diffusione della cultura scientifica; l'avviamento alla ricerca pura e applicata in un corso di dottorato; l'informatica e la telematica.
I laureati possono prevedere come occupazione anche l'inserimento nella scuola, una volta completati i percorsi di abilitazione all'insegnamento e superati i concorsi previsti dalla normativa vigente. Inoltre, qualora il corso di laurea magistrale in Matematica Pura e Applicata si innesti su un corso di laurea triennale in discipline affini, sarà possibile un pronto inserimento dei laureati anche in professioni o campi di studio differenti.
Condizione occupazionale (indicatori di efficacia e livello di soddisfazione dei laureandi):
http://statistiche.almalaurea.it/universita/statistiche/trasparenza?CODICIONE=0580207304100001
Valutazione della didattica - Studenti
Anno accademico precedente
Riferimenti web e contatti
Sito Web: http://www.mat.uniroma2.it/didattica/magistrale.php
Coordinatore:
Prof.ssa Carla Manni
Email manni@mat.uniroma2.it
Segreteria didattica:
Dott.ssa Solange Barcaccia (Dipartimento di Matematica)
Tel.: +39 06 7259.4685
e-mail: barcacci@mat.uniroma2.it
Il corso di laurea magistrale in Matematica Pura e Applicata (MPA) si propone di sviluppare competenze e conoscenze avanzate in vari settori della matematica, garantendo ai suoi iscritti ampia possibilità di approfondimento sia degli aspetti teorici di questa disciplina che delle sue applicazioni. Sono possibili percorsi formativi differenziati, atti ad integrare e completare la formazione matematica di ciscuno studente.
Tuttavia, in ogni ambito vengono sottolineati gli aspetti metodologici al fine di assicurare una profonda comprensione della materia e la capacità di aggiornare costantemente le competenze acquisite.
Con l'intento di accrescere le capacità di autonomia degli studenti, e per permettere la formulazione di piani di studio che si adattino alle esigenze di una società in rapida evoluzione, si è previsto un elevato grado di libertà nella scelta degli insegnamenti. Il percorso formativo è caratterizzato dalla presenza, all'inizio, di insegnamenti intesi a fornire un quadro ampio e organico di argomenti di carattere avanzato nelle discipline fondamentali (algebra, analisi, geometria, fisica matematica, analisi numerica, probabilità).
Successivamente, sono offerti insegnamenti a carattere specialistico, volti ad accogliere specifici interessi sviluppati dagli studenti, nonché a coadiuvare lo svolgimento del lavoro di tesi, cui è attribuita una valenza determinante per il compimento del ciclo di studi. Oltre ad avere un'approfondita conoscenza sia degli aspetti disciplinari sia di quelli metodologici della matematica, i laureati magistrali in MPA devono essere in grado di esprimere le proprie conoscenze in contesti professionali sia specifici sia interdisciplinari.
Lo studente viene altresì sollecitato ad acquisire un contatto diretto con la letteratura matematica, anche a livello di ricerca, e ad affinare le capacità individuali di orientarsi nella consultazione di testi e nella creazione di bibliografie sia in italiano che in inglese.
La redazione della prova finale costituisce, tra l'altro, una verifica dell'acquisizione di queste competenze e della padronanza delle tecniche usuali della comunicazione scientifica in ambito matematico. Grazie alla sua formazione, il laureato magistrale in MPA potrà, a seconda dei casi, proseguire negli studi partecipando a programmi di dottorato in discipline matematiche o inserirsi nel mondo del lavoro, sia utilizzando le specifiche competenze acquisite che valorizzando le sue capacità di flessibilità mentale e di collaborazione con altri esperti.
Modalità e requisiti di ammissione al Corso di Laurea magistrale ll Corso di Laurea Magistrale in Matematica Pura ed Applicata non è ad accesso programmato. Per essere ammessi al corso occorre essere in possesso della laurea o del diploma universitario di durata triennale, ovvero di un altro titolo di studio conseguito all'estero riconosciuto idoneo.
Sono inoltre richiesti specifici requisiti curriculari, caratteristici delle lauree in discipline matematiche.
La natura interdisciplinare della matematica rende possibile anche a studenti che abbiano conseguito la laurea in altri settori, di accedere alla laurea magistrale in Matematica Pura ed Applicata purché in possesso dei suddetti requisiti. Tutti gli studenti che intendano immatricolarsi sono invitati a farne richiesta secondo le modalità previste dall’ateneo.
Le domande pervenute saranno esaminate da un’apposita commissione nominata dal consiglio di corso di studio.
La valutazione della commissione seguirà comunque i seguenti criteri: •Verranno accolte tutte le domande di studenti in possesso di laurea in Matematica conseguita nel nostro ateneo. •Per tutti gli altri studenti, la commissione valuterà il possesso delle conoscenze e competenze necessarie per l’accesso sulla base della documentazione presentata.
Ove necessario, la commissione potrà richiedere ulteriori informazioni relative al curriculum, eventualmente tramite un colloquio di natura non tecnica. • Indicativamente, verranno accolte le domande di tutti i laureati triennali delle classi L-32 (DM 509/1999) e L-35 (DM 270/2004) provenienti da qualsiasi ateneo italiano (o di studenti in possesso di analogo titolo di studio estero). Si invitano gli interessati a richiedere un parere preventivo ed informale da parte del consiglio di corso di studi scrivendo a dida@mat.uniroma2.it e allegando il proprio curriculum studiorum con elenco degli esami sostenuti, completo di crediti formativi, settori disciplinari e (per gli studenti che abbiano conseguito la laurea triennale presso corsi di studio esterni alla macroarea di Scienze MM.FF.NN.
di questo ateneo) dei programmi relativi.
Descrizione del corso: Il corso di laurea magistrale in Matematica Pura e Applicata (MPA) si propone di sviluppare competenze e conoscenze avanzate in vari settori della matematica, garantendo ai suoi iscritti ampia possibilità di approfondimento sia degli aspetti teorici di questa disciplina che delle sue applicazioni. Sono possibili percorsi formativi differenziati, atti ad integrare e completare la formazione matematica di ciascuno studente.
Tuttavia, in ogni ambito vengono sottolineati gli aspetti metodologici al fine di assicurare una profonda comprensione della materia e la capacità di aggiornare costantemente le competenze acquisite.
Con l'intento di accrescere le capacità di autonomia degli studenti, e per permettere la formulazione di piani di studio che si adattino alle esigenze di una società in rapida evoluzione, si è previsto un elevato grado di libertà nella scelta degli insegnamenti. Il percorso formativo è caratterizzato dalla presenza, all'inizio, di insegnamenti intesi a fornire un quadro ampio e organico di argomenti di carattere avanzato nelle discipline fondamentali (algebra, analisi, geometria, fisica matematica, analisi numerica, probabilità).
Successivamente, sono offerti insegnamenti a carattere specialistico, volti ad accogliere specifici interessi sviluppati dagli studenti, nonché a coadiuvare lo svolgimento del lavoro di tesi, cui è attribuita una valenza determinante per il compimento del ciclo di studi. Oltre ad avere un'approfondita conoscenza sia degli aspetti disciplinari sia di quelli metodologici della matematica, i laureati magistrali in MPA devono essere in grado di esprimere le proprie conoscenze in contesti professionali sia specifici sia interdisciplinari.
Lo studente viene altresì sollecitato ad acquisire un contatto diretto con la letteratura matematica, anche a livello di ricerca, e ad affinare le capacità individuali di orientarsi nella consultazione di testi e nella creazione di bibliografie sia in italiano che in inglese.
La redazione della prova finale costituisce, tra l'altro, una verifica dell'acquisizione di queste competenze e della padronanza delle tecniche usuali della comunicazione scientifica in ambito matematico. Grazie alla sua formazione, il laureato magistrale in MPA potrà, a seconda dei casi, proseguire negli studi partecipando a programmi di dottorato in discipline matematiche o inserirsi nel mondo del lavoro, sia utilizzando le specifiche competenze acquisite che valorizzando le sue capacità di flessibilità mentale e di collaborazione con altri esperti. Grazie alle conoscenze e alle competenze acquisite, ivi inclusa la mentalità flessibile e l'esperienza accumulata nell'analisi e soluzione di problemi, i laureati magistrali in Matematica Pura e Applicata potranno disporre di un'ampia gamma di sbocchi occupazionali e professionali. Corso di laurea magistrale - Area di Scienze MM.FF.NN.
- Accesso libero con verifica del possesso dei requisiti curriculari - Classe LM-40 (D.M.
270/2004) - a.a.
2021-2022 Coordinatore: Prof.
Carla Manni e-mail: manni@mat.uniroma2.it
Per essere ammessi alla prova finale bisogna avere acquisito almeno 93 crediti maturati mediante il superamento delle prove didattiche previste dal proprio piano di studi.
La prova finale per il conseguimento della Laurea Magistrale in Matematica Pura ed Applicata richiede la redazione e discussione di una tesi frutto di un lavoro originale del laureando svolto sotto la guida di un relatore e una prova seminariale conclusiva.
La tesi può essere redatta anche in lingua inglese.
La tesi dovrà evidenziare nei suoi contenuti la maturità culturale del laureando magistrale in un'area disciplinare attinente alla sua formazione curriculare, e potrà assumere un carattere compilativo (trattazione dettagliata di uno specifico argomento di interesse) ovvero innovativo sperimentale o infine più propriamente teorico (analisi di un problema aperto e produzione di risultati originali).
Sono relatori di tesi i docenti universitari dell'Ateneo di Tor Vergata e di tutti gli Atenei Italiani.
Sono relatori di tesi anche i ricercatori di enti di ricerca accreditati.
Nel caso di docenti universitari esterni all'Ateneo o di ricercatori appartenenti ad enti di ricerca accreditati, il Coordinatore del Corso di Studio designerà un correlatore scelto tra i docenti del Dipartimento di Matematica.
In relazione ad obiettivi specifici, e nel quadro di convenzioni che lo prevedano esplicitamente, lo svolgimento della tesi può essere effettuato mediante tirocini formativi presso aziende, strutture della pubblica amministrazione ed enti esterni, oltre che nell'ambito di soggiorni di studio presso altre Università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
In ogni caso il relatore esterno assume il ruolo di correlatore mentre il Coordinatore del Corso di Studio designerà come relatore un docente interno del dipartimento di Matematica.
Durante la discussione orale della tesi il candidato dovrà mostrare oltre alla padronanza dell'argomento trattato, autonomia e capacità espositiva e di ricerca bibliografica.
Le sedute di laurea magistrale si svolgono in appelli fissati annualmente dal Dipartimento di Matematica e pubblicizzati.
Gli appelli saranno di norma cinque fissati nei mesi di dicembre (sessione invernale), Marzo (sessione invernale), Aprile (sessione invernale), Luglio (sessione estiva), Settembre-ottobre (sessione autunnale).
Gli appelli di laurea di Marzo e Luglio saranno stabiliti in modo da massimizzare la fruizione per i laureandi degli appelli d'esame di Febbraio e Giugno rispettivamente.
Venti giorni prima dell'appello scelto per l'esame finale di laurea magistrale lo studente deve presentare domanda presso le segreterie studenti dove adempirà alle formalità amministrative.
La commissione per la valutazione dell'esame di laurea magistrale è composta da 7 commissari: un docente con funzioni di Presidente, 6 commissari ed alcuni docenti supplenti.
La Commissione è nominata dal coordinatore del Corso di Studio.
Il Presidente è il professore con maggiore anzianità di servizio tra i docenti della commissione.
La discussione orale della tesi si svolge in seduta pubblica.
Durante tale discussione potranno essere effettuate anche domande di carattere generale, atte a verificare la preparazione complessiva del candidato.
La Commissione esprime un voto in centodecimi, con eventuale lode decisa all'unanimità.
Il voto viene determinato partendo dalla media dei voti degli esami della Laurea Magistrale pesati secondo i crediti (riportata in centodecimi).
A tale somma si aggiunge un incremento di al più 7 punti per la tesi e la relativa prova seminariale.
Per essere ammessi al Corso di Laurea Magistrale in Matematica Pura ed Applicata occorre essere in possesso della laurea o del diploma universitario di durata triennale, ovvero di un altro titolo di studio conseguito all'estero riconosciuto idoneo.
Sono inoltre richiesti specifici requisiti curriculari, caratteristici delle lauree in discipline matematiche.
La natura interdisciplinare della matematica rende possibile anche a studenti che abbiano conseguito la laurea in altri settori, di accedere alla laurea magistrale in MPA purché in possesso dei suddetti requisiti. Tutti gli studenti che intendano iscriversi al primo anno devono presentare la richiesta secondo le modalità previste dall'Ateneo.
Il Coordinatore del corso di studio, avvalendosi dell'ausilio di una apposita commissione preposta, esamina le domande pervenute e ne determina l'esito. I requisiti curriculari e le modalità di verifica delle conoscenze sono specificate nella guida didattica del corso di studio disponibile sul sito del corso di studio. I criteri di accesso prevedono: 1.
Il possesso di specifici requisiti curriculari, in termini di: A.
possesso di una laurea nella classe L-35; oppure B.
almeno 24 CFU conseguiti complessivamente nei settori da MAT/01 a MAT/09; 2.
l’adeguatezza della personale preparazione, la cui verifica - riservata ai soli candidati in possesso dei requisiti di cui al punto 1 -, avviene tramite l’analisi del curriculum, dei programmi degli esami sostenuti e delle votazioni ottenute durante gli studi pregressi e può, eventualmente, richiedere un colloquio. La verifica risulta assolta per i candidati che abbiano conseguito la laurea nella classe L-35, con almeno 6 CFU nel settore MAT/02 e con una votazione pari o superiore a 80/110. A seguito della valutazione, qualora la commissione riscontri parziali lacune tra gli argomenti indicati, potrà essere richiesto di includere nel piano di studi uno o più insegnamenti appositamente organizzati in base al curriculum personale dello studente.
In particolare, potrà essere richiesto l’inserimento, nel piano di studio della laurea magistrale, di uno o più insegnamenti della laurea triennale in Matematica per un massimo di 24 CFU.
Il corso fornisce un'introduzione alla risoluzione concreta ed alla illustrazione grafica di problemi alle derivate parziali con l'uso di software scientifico utilizzando strumenti matematici introdotti negli altri corsi della Laurea Magistrale. Programma: Metodo degli elementi finiti. Metodi di simulazione. Sviluppi in autofunzioni. L'uso dei software scilab, C e Freefem integrati tra loro.
scheda non pervenuta
1. Spazi di Banach Definizioni ed esempi. Norme equivalenti. Spazi normati finito-dimensionali. Spazio duale ed esempi. Il duale di C0(X). Quozienti e somme dirette di spazi normati e loro duali. Teorema di Hahn-Banach e conseguenze. Separazione di insiemi convessi. Spazi riflessivi ed esempi. Operatori limitati su uno spazio normato. Teorema dell'applicazione aperta. Teorema del grafico chiuso. Principio dell'uniforme limitatezza. Sottospazi complementari di uno spazio di Banach. 2. Topologie deboli Spazi vettoriali topologici. Topologia definita da una famiglia di seminorme e spazi localmente convessi. Un esempio di spazio vettoriale topologico non localmente convesso. Topologia debole e topologia *debole. Funzionali debolmente continui. Teorema del bipolare. Teorema di Banach-Alaoglu. Punti estremali di un convesso, teorema di Krein-Milman e applicazioni. Teorema di Stone-Weierstrass. 3. Spazi di Hilbert Basi ortonormali ed esempi. Operatori unitari. Sistema trigonometrico e serie di Fourier in L2(T). Operatori limitati su uno spazio di Hilbert. Operatore aggiunto. Operatori compatti e operatori di rango finito. Operatori integrali su L2(X,m). Spettro di un operatore. Teoria di Riesz-Schauder e teorema dell'alternativa di Fredholm per operatori compatti su uno spazio di Banach. Operatori di Volterra. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti su uno spazio di Hilbert. Teoria di Sturm-Liouville.
Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, in funzione degli interessi di coloro che frequenteranno il corso. FONDAMENTI di TEORIA degli ANELLI (commutativi unitari): - richiami di teoria degli anelli: anelli (commutativi unitari), ideali, quozienti, morfismi, Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo, prodotti diretti; - operazioni sugli ideali, ideali massimali, radicale di Jacobson, radicale nilpotente; anelli locali, anelli semilocali; ideali primi, dimensione di Krull di un anello; - estensione e contrazione di ideali tramite un morfismo. MODULI (su anelli commutativi unitari): - moduli, sottomoduli, quozienti, morfismi; Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo; prodotti diretti e somme dirette; successioni esatte, moduli di morfismi, modulo duale; - moduli liberi, basi di un modulo; i moduli su un campo sono tutti liberi, dimensione di un modulo su un campo; rango di un modulo libero; Lemma di Nakayama; - elementi di torsione; proprietà notevoli dei moduli su un D.I.P.; - prodotto tensoriale tra moduli; cambiamenti di anello di base, restrizione ed estensione di scalari; anelli e moduli di frazioni; algebre su un anello. NOETHERIANITA` e ARTINIANITA`: - condizioni sulle catene per moduli e anelli, noetherianità e artinianità, serie di composizione, lunghezza di un anello; - anelli notheriani e anelli artiniani, proprietà fondamentali; Teorema della Base di Hilbert, Teorema degli Zeri di Hilbert; decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano; caratterizzazione degli anelli artiniani; teorema di struttura per gli anelli artiniani. SPETTRO PRIMO di un ANELLO: - lo spettro primo di un anello, topologia di Zariski; funtorialità dello spettro primo; - relazioni tra proprietà algebriche di un anello e proprietà topologiche del suo spettro primo; - spazi topologici noetheriani, caratterizzazione degli anelli il cui spettro primo sia noetheriano. TEORIA delle CATEGORIE: - categorie, funtori, trasformazioni naturali; equivalenze tra categorie; aggiunzione tra funtori; - funtori rappresentabili e loro rappresentazioni; Lemma di Yoneda; - oggetti finali e oggetti iniziali; prodotti e coprodotti; diagrammi, coni e coconi, limiti e colimiti; limiti diretti e limiti inversi.
Elementi basilari della teoria delle distribuzioni in R^n, trasformata di Fourier. Gruppi abeliani localmente compatti e dualità di Pontryagin, Convoluzione, analisi di Fourier. Elementi di teoria delle rappresentazioni per gruppi abeliani localmente compatti, e gruppi compatti. Teorema di Peter-Weyl. Teorema di Stone-von Neumann e Teorema SNAG. Cenni alla teoria delle rappresentazioni indotte per gruppi localmente compatti separabili e per gruppi polacchi non localmente compatti. Obiettivi di apprendimento. Nonostante la vastità e la complessità delle potenziali tematiche, il corso "Complementi di Analisi Funzionale" si prefigge di fornire alcune importanti nozioni complementari ai programmi usuali dei corsi di base di Analisi Funzionale. Lo scopo primario del corso sarà quello di presentare nella maniera più semplice possibile, senza comunque tralasciare del tutto i risvolti tecnici delle problematiche coinvolte, alcune delle affascinati tematiche dell’analisi funzionale (vedi programma). La parte finale del corso sarà dedicata (tempo permettendo) a descrivere alcune stimolanti applicazioni a campi della matematica e della fisica quantistica.
Varietà topologiche e differenziabili. Funzioni e mappe lisce su varietà. Vettori tangenti, fibrato tangente e differenziale di mappe. Sommersioni, immersioni, embedding, sottovarietà. Teorema di Whitney (caso compatto). Gruppi di Lie, azioni e quozienti, spazi omogenei. Campi vettoriali, parentesi di Lie, algebra di Lie. Flussi di campi vettoriali, derivate di Lie, campi che commutano. Teorema di Frobenius e applicazioni. Tensori, forme differenziali, differenziale esterno, orientazione di varietà, integrazione di forme differenziali, Teorema di Stokes. Fanno parte integrante del programma anche gli esercizi assegnati settimanalmente.
A partire dallo studio di testi di matematica classica si propongono attivita' laboratoriali in cui si valorizza il legame tra aritmetica e geometria e si pone l'attenzione sugli aspetti didattici, con speciale attenzione alle indicazioni nazionali per la matematica relative alla scuola secondaria di primo e secondo grado e alle informazioni fornite dai recenti studi in neuroscienze. Si tratteranno, tra l'altro: la nozione di numero, il concetto di commensurabilita' e gli insiemi numerici; la radice quadrata; applicazioni del teorema di Pitagora; stime delle aree; applicazioni fisico-matematiche.
Il docente non ha inviato la scheda
Argomenti trattati, ad esempio, nei corsi della triennale di Analisi Reale e Complessa e di Geometria 3
Il linguaggio degli insiemi. Teoria elementare dei numeri la teoria dei gruppi, anelli e campi. Il sistema RSA
Argomenti trattati, ad esempio, nei corsi della triennale di Algebra 2 e Geometria 2
Richiami di teoria della misura. Spazi di probabilità astratti. Indipendenza. Legge 0-1 di Kolmogorov. Lemma di Borel-Cantelli. Convergenza quasi certa e in probabilità.Legge dei grandi numeri. Funzioni caratteristiche. Convergenza in legge. Aspettazione condizionale. Martingale a tempo discreto.
Il corso copre gli algoritmi classici e moderni della Computer Graphics, con particolare riferimento agli aspetti analitici, probabilistici e numerici. Vengono studiati in dettaglio molti dei seguenti argomenti: gli algoritmi di rimozione delle aree nascoste (z-buffer, ray tracing, partizione binaria ed altri), i modelli di illuminazione ed ombreggiatura, le mappe di tessitura, di rilievo, di riflessione e di occlusione, il rendering delle ombre e della trasparenza, il ray tracing ricorsivo, la radiosità e l'illuminazione globale (inclusi final gathering e photon mapping).
Computer graphics is widely used in the video game and movie industry. The goal of this course is to provide some basic techniques in computer graphics, and to give an introduction to the programming language Java. Part 1. Introduction to Java as an object-oriented programming language. Part 2. Principles of computer graphics, the basic rendering pipeline and photorealistic rendering by ray-tracing. Part 3. Numerical modelling techniques based on Bezier and spline curves.
Natural language processing Docente ZanzottoCrediti 6 Anno 2 Semestre 2 Cdl SpecialisticaProgrammaIntroduzione alle applicazioni dell’NLPElementi di Linguistica GeneraleMorfologia con automi a stati finitiSintassi: CFG e ParisngFeature Structures per la morfosintassiApprocci modulari alla elaborazione della linguaCenni di Elaborazione SemanticaEsercitazioni di Laboratorio
CHIMICA GENERALE (CHIM/03) 8 CFU Prof. Tagliatesta (A-L) oppure consultare il Link alla pagina http://www.scienze.uniroma2.it/?cat=490&catParent=88Programma Programma di Chimica Generale ed Inorganica Atomi ed elementi, Peso atomico, Tavola periodica. Composti e molecole. La struttura atomica La valenza ed i legami chimici. Formule brute e formule di struttura molecolari. I nomi dei composti. La mole. Il numero di Avogadro. Reazioni chimiche, le reazioni di ossidazione, di formazione di ossidi e anidridi. Idrossidi e acidi. Sali, reazioni tra acidi e sale e tra sali e basi. Il bilanciamento, la relazione tra masse e moli e il reagente limitante. Gli orbitali atomici s,p,d. Loro forma e differenze. L ' Aufbau. Legami chimici: legami sigma e legami pi-greco. Legami covalenti, omeopolari e ionici. Legame doppio e legame dativo. L ' elettronegativita'. I composti principali in relazione alla tavola periodica. La struttura elettronica molecolare. Il legame chimico,omeopolare, covalente e ionico. La struttura elettronica, legami chimici e la geometria. delle molecole L ' ibridazione. Le distorsioni dalla geometria della ibridazione. Gli angoli di legame. La reattivita' come punto di debolezza di un composto. I legami deboli: legame idrogeno e dipolare. I composti chimici, anidridi e ossidi, idrossidi e acidi, idracidi, sali. Dei composti studiati si richiede la formula di struttura e la geometria di legame derivata dagli orbitali atomici e dalla ibridazione. Reazioni chimiche. Il bilanciamento. Il reagente limitante. Le reazioni chimiche di equilibrio. La definizione di concentrazione. Gli equilibri chimici omogenei ed eterogenei (di questi la definizione). La costante di equilibrio Kc. Il quoziente di reazione. La legge di azione di massa. I calcoli negli equilibri chimici. Le soluzioni. I processi di dissoluzione. La concentrazione e le unita’ di misura. Il pH. Le reazioni in soluzione acquosa. Gli equilibri in soluzione . Acidi e basi forti e acidi e basi deboli. L ' idrolisi dei sali; le titolazioni di acidi e basi forti o deboli con acidi e basi forti. I tamponi. I tamponi negli acidi poliprotici. La teoria acido-base coniugati. Il diagramma di Henderson Hasselbach. La valenza e il metodo del numero di ossidazione. Le reazioni di ossidoriduzione e la procedura per il loro bilanciamento. Metodo ionico- elettronico. Gli equilibri di ossidoriduzione. Il potenziale elettrochimico standard e la equazione di Nernst. Le pile. Pile chimiche e quelle a concentrazione. La misura elettrochimica del pH. Elettrodo a idrogeno.L ‘ eqiuilibrio nelle pile chimiche ed in quelle a concentrazione. Cenni sulle proprieta’ colligative ed il diagramma di stato dell ‘ acqua. La cinetica chimica reazioni del I ordine . L ‘ Energia di attivazione. Testo consigliato Kotz e Treichel , Chimica Generale, Edises Esami Gli esami saranno espletati tramite due prove scritte in itinere durante il semestre e con prove scritte dopo la fine del semestre per chi non supera le precedenti.
. Giochi in forma normale. equilibri di Nash. Pareto ottimalità. strategie debolmente e strettamente dominanti. Strategie conservative. Payoff e preordini totali. 2. Un' applicazione delle strategie dominanti: i meccanismi di asta. Aste di primo prezzo e aste secondo prezzo (o di Vickrey). Un'applicazione degli equilibri di Nash: la legislazione di incidente. 3. Giochi antagonistici e a somma zero. Punti di sella ed equilibri di Nash per giochi a somma zero. Giochi strettamente competitivi. 4. Estensione in strategia mista di un gioco antagonistico. L'esistenza di un equilibrio nella strategia mista per i giochi aantagonistico e valore del gioco. Il teorema di von Neumann. Bluff, underbid e poker di Kuhn. 5. i giochi cooperativi. Nucleo di un gioco. Il teorema di Bondareva-Shapley. I mercati con utilità trasferibile. Giochi semplici e valore di Shapley. 6. Giochi cooperativi con l'utilità non trasferibile. Il problema dell'house allocation. Il problema dello stable marriage. 7. Facility location: teoria ed algoritmi risolutivi esatti ed approssimati, deterministici e randomizzati. Algoritmo primale duale e meccanismi di cost sharing. Facility location games. 8. Albero ricoprente di peso minimo: teoria e algoritmi esatti. Alberi di Steiner: teoria ed algoritmi risolutivi esatti ed approssimati. Algoritmo primale duale e meccanismi di cost sharing. Giochi con alberi di Steiner.
Richiami di probabilita' e statistica matematica: teoremi limite, Gaussiana multivariata. Stazionarieta' debole e forte. Equazioni alle differenze finite e processi ARMA; condizioni di stazionarieta', funzioni di covarianza. Rappresentazione spettrale di processi stazionari. Periodogramma e proprieta' asintotiche. Massima verosimiglianza nel dominio delle frequenze e stime di Whittle. Cenni ai campi aleatori stazionari.
Curve razionale sulle varietà algebrica. Tecnica di bend & break di Mori e le sue applicazione.
Proposta A: Gruppi di Lie e algebre di Lie; la categoria delle algebre di Lie. Algebre di Lie e algebre associative: l'algebra inviluppante di un'algebra di Lie e il teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt. Algebre di Lie nilpotenti e algebre di Lie risolubili. Algebre di Lie semisemplici di dimensione finita: sistemi di radici e classificazione. Rappresentazioni delle algebre di Lie semplici di dimensione finita; caratteri; il teorema di Harish-Chandra. Il teorema di Kostant e il gruppo di Chevalley. Proposta B: Elementi di geometria algebrica: topologia di Zariski e varietà algebriche; dimensione; spazio tangente. Introduzione ai gruppi algebrici: gruppi algebrici lineari; spazi omogenei; l'algebra di Lie di un gruppo algebrico. Gruppi algebrici commutativi: i tori. Gruppi algebrici risolubili. Gruppi algebrici riduttivi: gruppo di Weyl e sistema di radici; decomposizione di Bruhat; teorema di struttura.
ALGEBRE di OPERATORI -Algebre di Banach e C*-algebre. -Spettro e calcolo funzionale. -Funzionali lineari positivi, stati e rappresentazioni; rappresentazione di Gelfand-Naimark-Segal (GNS). -Struttura delle C*-algebre finito-dimensionali. -Algebre concrete di operatori su spazi di Hilbert: il teorema del bicommutante di J. von Neumann e le algebre di von Neumann (AvN). -W*-algebre: caratterizzazione in termine del preduale, identificazione delle algebre di von Neumann come W*-algebre concrete. -Algebre di operatori abeliane. CLASSIFICAZIONE delle W*-algebre -Geometria delle proiezioni. -Tracce normali semifinite fedeli. -Classificazione delle W*-algebre. TEORIA MODULARE di TOMITA -Stati normali e fedeli, e vettori ciclici e separanti su una AvN: operatore S di Tomita. -Operatore Delta e coniugazione J di Tomita. -Gruppi a un parametro di automorfismi normali e condizione di Kubo-Martin-Schwinger (KMS), Teorema di Tomita. -Pesi normali semifiniti fedeli: generalizzazione al caso non sigma-finito (cenni). _Rappresentazione standard di una W*-algebra, esempi: algebre di matrici, algebra di tutti gli operatori limitati B(H) agenti sullo spazio di Hilbert H, prodotti tensoriali infiniti. APPLICAZIONI -Applicazioni della condizione di KMS alla Meccanica Statistica Quantistica. -Applicazioni alla classificazione di Connes dei fattori di tipo III (cenni). -Attese condizionate normali e fedeli, teorema di esistenza di Takesaki, generalizzazione di Accardi-Cecchini e applicazioni alla Probabilita’ Quantistica (cenni).
Complessi simpliciali. Complessi di catene. Gruppi di omologia. Sequenze esatte. Omologia persistente. Applicazioni all'analisi dati.
Introduzione allo studio di equazioni ellittiche e paraboliche nonlineari. Metodi di punto fisso per l'esistenza di soluzioni. Stime a priori e compattezza. Problemi di regolarita' delle soluzioni. Applicazioni: equazioni di Eulero di funzionali del Calcolo delle Variazioni, equazione di Fokker- Planck. Legami con i processi di diffusione e interpretazione probabilistica. Equazioni in forma non divergenziale: principio del massimo e soluzioni di viscosita'. Metodo di Perron per l'esistenza di soluzioni. Programmazione dinamica e soluzioni di viscosita' per equazioni di Hamilton-Jacobi. Applicazioni: equazioni di Bellman e Isaacs per problemi di controllo e giochi differenziali.
Nozioni di base: Calcolo sulle varieta’, forme differenziali, coomologia di deRham. Gruppi ed algebre di Lie. Fibrati e connessioni principali. Dfferenziazione covariante. Varieta’ fini e Riemanniane. Connessioni invarianti. Proprieta' metriche delle varieta’ Riemanniane. Gruppi di trasformazioni. Metriche invarianti e di Einstein. Spazi simmetrici.
Nozioni di analisi dell’errore. Matrici sparse, calcolo parallelo e acceleratori hardware. Tecniche di proiezione. Algoritmi di proiezione in sottospazi di Krylov: CG and GMRES. BiCG, CGS, BiCGStab. Flexible GMRES (FGMRES). Precondizionatori a fattorizzatione incompleta. Precondizionatori per alcuni sistemi strutturati. Nozioni di funzioni di matrici. Calcolo efficiente di funzioni di matrici. Applicazione all’integrazione di modelli di PDE e big data. Grafi e matrici nella complex network analysis. Matrici di adiacenza, laplaciana, di incidenza. Misure di centralità e importanza dei dati. Cenni all'evoluzione e alla robustezza di una rete complessa con applicazioni alla social network analysis, reti biologiche, in finanza,nelle reti di comunicazione, internet e trasporti, negli algoritmi di consenso.
Prerequisiti. Il corso presuppone la conoscenza delle nozioni di base sviluppate nel corso di CPComplementi di Probabilità. Questo corso propedeutico a quello di MMMF-Metodi e Modelli dei Mercati Finanziari. Il Moto Browniano, definizioni e generalità; principali proprietà: regolarità delle traiettorie, comportamento asintotico, proprietà d'invarianza. Martingale a tempo continuo (quelle a tempo discreto e le speranze condizionali, che fanno parte del programma di CP verranno richiamate brevemente). Processi di Markov, processi di Diffusione. L'integrale Stocastico: definizioni, principali proprietà. La formula di Ito, applicazioni. Il teorema di Girsanov. Equazioni Differenziali Stocastiche: esistenza e unicità delle soluzioni, proprietà di Markov, diffusioni, rappresentazione probabilistica delle soluzioni delle Equazioni alle Derivate Parziali.
Verranno trattati argomenti scelti di probabilità e statistica in alta dimensione. Verrà dato particolare risalto all'applicazione di tecniche avanzate a problemi applicati in diversi campi. Gli argomenti principali del corso includono: disuguglianze di concentrazione; vettori aleatori in alta dimensione; applicazioni ai grafi aleatori; matrici aleatorie; applicazioni a problemi in computer e data science; processi stocastici gaussiani e subgaussiani; chaining; applicazioni allo statistical learning; metric entropy; principal component analysis in alta dimensione.
Programma: il corso verte su un’introduzione alla Meccanica Celeste, cioe' allo studio del moto di pianeti e satelliti (sia naturali, che artificiali) del sistema solare. Si intendono affrontare gli argomenti principali della Meccanica Celeste, quali ad esempio la stabilità del sistema solare (che fine faranno la Terra e gli altri pianeti?), il motivo per il quale la Luna rivolge sempre la stessa faccia verso la Terra (e quindi vediamo solo un emisfero della Luna), le collisioni passate e future che caratterizzano il sistema solare (dalla scomparsa dei dinosauri alla previsione di impatti asteroidali). Il programma analitico del corso e il seguente: - richiami di Meccanica Hamiltoniana: trasformazioni canoniche, criteri di canonicita', parentesi di Poisson, integrali primi - Sistemi integrabili - Teorema di integrabilita' locale - Teorema di Arnold-Liouville e variabili azione-angolo - Esempi di sistemi integrabili: oscillatori armonici, moto in un campo centrale, giroscopio pesante - Moti regolari e caotici - Sistemi conservativi e dissipativi - Sistemi continui e discreti, mappe di Poincare', standard map - Gli esponenti di Lyapunov - Il problema dei 2 corpi - Le leggi di Keplero - Variabili azione-angolo di Delaunay per il problema dei 3 corpi - I punti di equilibrio Lagrangiani - Il problema dei 3 corpi ristretto - Dinamica rotazionale - Risonanze spin-orbita: derivazione del modello e costruzione di superfici invarianti - Teoria perturbativa: teorema di Hamilton-Jacobi, teorema di Birkhoff per gli oscillatori armonici - Applicazione della teoria perturbativa per il calcolo della precessione del perielio. - Teorema KAM: dimostrazione, aritmetica degli intervalli, cenni di teoria dei numeri e frazioni continue. - Tecniche classiche e superconvergenti - Cenni sul metodo di Greene - Teorema di Nekhoroshev - Collisioni e regolarizzazione - Trasformazione di Levi-Civita
INTRODUZIONE GENERALE: Problemi supervised e problemi unsupervised. Il workflow di un problema di analisi dati. Esempi vari tratti dal Cap 1. LA REGRESSIONE: Cosa è la regressione e perché usarla. La definizione di Loss function e di Risk function. Analisi delle Loss function più comuni: L1, L2, quantile, Vapkin’s e Huber. Definizione di Bias e Varianza, discussione e primi esempi di compromesso tra Bias e Varianza (il metodo dei vicini più vicini e il metodo lineare). La maledizione della dimensionalità. (Cap 2) LA REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA: Interpretazione algebrica ed interpretazione geometrica della soluzione ai minimi quadrati. Sotto l’ipotesi di rumore bianco dimostrazione delle proprietà distribuzionali dello stimatore ai minimi. (Par 3.2) Utilizzo delle proprietà distribuzionali dello stimatore ai minimi quadrati per la costruzione di test di ipotesi e di intervalli di confidenza e di predizione. Il teorema di Gauss-Markov (Par. 3.2.2) Dalla regressione semplice alla regressione multipla, interpretazione dei coefficienti (Par. 3.2.3) Implementazione dell’algoritmo 3.1 di pag 54. TECNICHE PER IL TRATTAMENTO DI DATI AD ALTA DIMENSIONE: Discussione delle problematiche in caso di collinearità e/o nel caso pn. Discussione generale sulle possibili tecniche da adottare nel caso di dati ad alta dimensione, specializzazione di queste tecniche al caso del modello lineare con funzione perdita L2. Discussione generale sulle possibili tecniche per fare selezione del modello, studio della Cross Validation. (Par 7.1-7.2-7.10) Accenno ai seguenti criteri di selezione del modello: C_p (Mallow’s), AIC (Akaike Information Criterion), BIC (Bayeisan Informaion Criteiron), MDL (Minimum Description Lenght). Il metodo della Best Subset Selection, vantaggi e svantaggi. Su un data set sintetico verifica della sua forte variabilità. Il metodo della Forward Stepwise Selection, vantaggi e svantaggi. Confronto con la Best Subset Selection su un data set sintetico, il comando stepwiselm di matlab. Il metodo della Forward Stagewise Regression, vantaggi e svantaggi.La tecnica della PCA (Principal Component Analysis) per la riduzione della dimensionalità di un set di dati qualsiasi. Il metodo della PC regression, vantaggi e svantaggi. I Partial Least Square, e loro confronto con la PC regression. La tecnica della supervised PC regression. La Ridge regression come metodo di penalizzazione e dal punto di vista geometrico. Il concetto generale di degree of fredom per un metodo di supervised learning. Il calcolo del df nel caso della ridge regression. Equivalenza tra la scelta del parametro di penalizzazione della Ridge e la regolarizzazione iterativa ad arresto precoce. La penalizzazione LASSO. Giustificazione numerica e geometrica della scelta della norma l_1 per avere soluzioni sparse. Soluzione esplicita del problema di regressione lineare con penalizzazione LASSO nel caso di matrice design ortonormale. Algoritmo Pathwise coordinate optimization per la soluzione del problema di regressione lineare con penalizzazione LASSO nel caso di matrice design generale. Nota sulla normalizzazione delle colonne della matrice design e commenti sulla routine di matlab ‘lasso.m’. Interpretazione bayesiana della penalty lasso. La scelta del parametro di regolarizzazione e possibile stima dl degree of fredom per il problema di regressione lineare con penalty lasso. Proprietà teoriche dello stimatore lasso nel caso di modello lineare. Dimostrazione della slow e della fast convergence rate del prediction error. Analisi della subroutine lasso di matlab esempio di applicazione del metodo al dataset prostate cancer data e ricostruzione completa della tavola 3.3 del libro di testo. Possibili miglioramenti del metodo Lasso: elastic net, relaxed lasso, adaptive lasso. Le penalty SCAD e MCP. Commenti ed esempio sintetico per un confronto tra le possibili penalty diverse. Come utilizzare il modello lineare per lavorare con modelli non lineari sia parametrici che non parametrici. La regressione polinomiale a tratti: le regression splines e le smoothing splines.
Richiami di formalismo Hamiltoniano: parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche. I sistemi integrabili: teorema di Liouville; cenni al teorema di Arnold-Jost. Trasformazioni canoniche prossime all'identità: serie di Lie. Introduzione ai metodi simplettici di integrazione numerica dei sistemi Hamiltoniani [*]. I sistemi quasi integrabili: la dinamica nell'intorno di un punto di equilibrio. Studio di alcuni esempi fondamentali: problema ristretto dei 3 corpi nei pressi dei punti Lagrangiani equilateri [*], modello di Henon-Heiles [*]. Forma normale di Birkhoff [*] e stabilità effettiva alla Nekhoroshev. Cenni al teorema KAM sulla persistenza dei moti quasi periodici. A seconda del tempo a disposizione, l'ultima parte del corso tratterà uno dei due seguenti argomenti oppure entrambi. (1) Il teorema della varietà stabile. Visualizzazione grafica delle varietà stabili/instabili [*]. Origine del caos e esponenti di Lyapunov [*]. (2) Studio della dinamica Hamiltoniana quasi-integrabile con il metodo dell'analisi in frequenza [*]. [*] = argomento che sarà trattato anche durante alcune speciali sessioni di attività laboratoriali ad esso dedicate.
Fondamenti della meccanica quantistica Lo spazio di Hilbert e la formulazione algebrica Le equazioni di Schrodinger and Heisenberg Analisi di sistemi elementari Simmetrie in meccanica quantistica Rappresentazione di SU(2) e lo spin Teoria spettrale di operatori di Schrodinger Teoria delle perturbazioni Teoria a molti corpi e quantizzazione del campo elettromagnetico Risultati rigorosi in QED non-relativistica
test driven design statecharts basi di dati
Programma Sezione I: Machine Learning e Learning basato su kernel. Richiami. Metodi Supervised. Metodi probabilistici e generativi. Metodi Unsupervised. Clustering. Metriche di similarità semantica. Metodi agglomerativi. K-mean. Modelli Markoviani. Hidden Markov Models. Kernel-based kernels. Kernel polinomiali e RBF. String Kernels. Tree kernels. Latent Semantic kernels. Semantic kernels. Applicazioni. Sezione II: Statistical Language Processing Supervised Language Processing tools. HMM-based POS tagging. Named Entity Recognition. Statistical parsing. PCFGs: Charniak parser. Modelli di Parsing Lessicalizzati. Shallow Semantic Parsing: kernel based semantic role labeling. Information Extraction. Sezione III: Web Mining & Retrieval. Modelli di ranking per il Web. Introduzione alla Social Network Analysis: rango, centralità. Modelli di random walk: Page Rank. Motori di ricerca. SEO. Google. Sistemi di Question Answering. Open-domain Information Extraction. Acquisizione di Conoscenza da Wikipedia. Social Web. Algoritmi su grafi per la community detection. Introduzione all’Opinion Mining e al Sentiment Analysis.
Il principio di equivalenza. Campi gravitazionali deboli. Moto geodetico. Significato fisico della metrica. Arrossamento delle righe spettrali. Forze inerziali. Tensori. Derivazione covariante. Il tensore di Riemann-Christoffel. Equazione di campo nel vuoto. Il tensore energia-impulso. Equazione di campo in presenza di materia. Leggi di conservazione. La soluzione di Schwarzschild: coordinate isotrope; moto planetario; deflessione della luce. L’espansione di Hubble. La radiazione cosmica di fondo. La metrica di Friedmann-Robertson-Walker. Nucleosintesi primordiale degli elementi leggeri. Il problema della distanza in Cosmologia. Il modello standard in cosmologia e gli scenari inflazionari.
Problemi di Programmazione Matematica: condizioni di esistenza della soluzione Ottimizzazione non vincolata: condizioni di ottimo, algoritmi di soluzione: condizioni di convergenza globale, ricerca di linea, cenni sul metodo del gradiente. Ottimizzazione vincolata: condizioni di ottimo e algoritmi di soluzione Duale di Wolfe e SVM. Algoritmi per SVM: SVM_light e metodo delle coordinate duali. Clustering non supervisionato: formulazione e algoritmo k-means batch e on line. Algoritmo k-medoids. Clustering gerarchico agglomerativo e divisivo Alberi di decisione: Alberi di decisione e classificazione. CART (Classification And Regression Trees). Induction task: TDIDT e approccio Top-Down. Scelta dello split test. Misure di “impurità” ai nodi: Gini index, Chi-quadro, Entropia, Information Gain, Gain Ratio ed Errore di Classificazione. Cenni di complessità computazionale. Disegno di un Optimal Classification Tree (OCT) come problema di ottimizzazione intera (MIO). Modello di Bertsimas e Dunn: OCT-MIO. Caso univariato: Definizione delle variabili. Modellare la struttura ad albero. Pruning. Consistenza con l’output dei test. Assegnamento di class-label ai nodi foglia. Estensione di OCT-MIO al caso multivariato: OCT-H.
L'obiettivo del corso è lo studio ed il calcolo del prezzo e della copertura di opzioni europee quando il modello di mercato è scelto nella classe dei modelli continui. Sono quindi trattati argomenti propri del calcolo stocastico (processi di Markov, teorema di Girsanov, diffusioni e formule di rappresentazione alla Feymnan-Kac) ed introdotti modelli di diffusione per i mercati finanziari, per lo studio dell'arbitraggio e della completezza del mercato. Particolare enfasi data al modello di Black e Scholes. Parte del corso dedicata ai metodi numerici Monte Carlo per la finanza. Saranno proposti alcuni approfondimenti a scelta dello studente (tassi di interesse, opzioni americane, applicazioni del calcolo di Malliavin alla finanza).
CONTROLLODIEQUAZIONIDIFFERENZIALIORDINARIE.Osservabilità,controllabilitàestabi- lizzabilità di processi di controllo lineari a coefficienti costanti su spazi euclidei. EQUAZIONI DI EVOLUZIO- NE. 1. Semigruppi di operatori lineari e continui su spazi di Banach. Generatore infinitesimale. Teorema di Hille-Yosida. Comportamento asintotico. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni paraboliche del secondo ordine. 2. Operatori dissipativi e massimali dissipativi. Teoremi di Lumer- Phillips. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni iperboliche del secondo ordine. 3. Aggiunto di un operatore lineare nel caso Hilbertiano. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Teorema di Stone. Applicazione all’equazione di Schrodinger. 4. Il problema di Cauchy non omogeneo. Il caso degli operatori autoaggiunti e dissipativi. CONTROLLO DI EQUAZIONI PARABOLICHE DEL SECONDO ORDINE. 1. Il problema della controllabilità per equazioni di evoluzione. Nozioni di osservabilità. 2. Controllabilità a 21 zero con il metodo dei momenti. 3. Stime di Carleman per equazioni ellittiche e paraboliche del secondo ordine. Applicazione all’osservabilità. 4. Il modello di Budyko-Sellers in climatologia. CONTROLLO DI EQUAZIONI IPERBOLICHE DEL SECONDO ORDINE. 1. Osservabilità e controllabilità dell’equazione delle corde vibranti con la formula di d’Alembert. 2. Studio delle equazioni di evoluzione del secondo or- dine con il metodo di Fourier. 3. Osservabilità di modelli elastici con il metodo dei moltiplicatori. 4. Controllabilità di modelli elastici con il metodo HUM. 5. Stabilizzazione di modelli elastici. APPENDICE: RICHIAMI SUGLI SPAZI DI SOBOLEV. 1. Spazi di Sobolev su domini limitati nel caso hilbertiano. 2. Duali di spazi di Sobolev.
Fondamenti della meccanica statistica classica. Teoria degli ensemble,funzioni termodinamiche, applicazioni elementari. Postulati della meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger, barriere e buche di potenziale, effetto tunnell. Oscillatore armonico lineare. Momento angolare. Atomo di idrogeno.Spin. Teoria delle perturbazioni. Metodo variazionale.Struttura fine. Particelle identiche. Gas quantistici di Fermi-Dirac e Bose- Einstein. Gas di Fermi. Corpo nero, condensazione di Bose.
Distribuzioni. Spazi di Sobolev. Disuguaglianze di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg e di Morrey. Teorema di Rellich. Disuguaglianze di Poincaré. Lemma di Lax-Milgram. Formulazione variazionale dei problemi ai limiti ellittici mediante gli spazi di Sobolev: esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni deboli. Principi di massimo. Teoria spettrale per il problema di Dirichlet. Semigruppi di operatori lineari e continui su spazi di Banach. Generatore infinitesimale. Teorema di Hille-Yosida. Semigruppi di contrazione e semigruppi compatti. Teoremi di perturbazione. Comportamento asintotico. Problema di Cauchy. Regolarità massimale. Applicazione alle equazioni del calore, delle onde e di Schrodinger
