Corso di laurea - Area di Scienze MM.FF.NN. - Accesso libero con verifica delle conoscenze in ingresso. L'esito della prova non preclude la possibilità di immatricolarsi - Classe L-35
Lingua: Italiano
Informazioni generali
o Classe di Laurea: L-35 (D.M. 270/04)
o Tipologia di corso: Laurea
o Durata: 3 anni
o Tipo di accesso: Accesso libero con verifica delle conoscenze in ingresso
o Area di afferenza: Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
o Dipartimento: Matematica
o Codice corso: H11
Descrizione e obiettivi formativi
Il corso fornisce una solida preparazione di base nei vari settori della matematica, che tenga conto non solo degli aspetti tecnici della disciplina, ma anche di quelli culturali.
L’intento è quello di formare laureati con ampia duttilità rispetto al mondo del lavoro e, al tempo stesso, con tutti i requisiti necessari per l'approfondimento degli studi in corsi di laurea magistrale in discipline matematiche o affini. Gli studenti sono tenuti ad acquisire le conoscenze e competenze di base dei seguenti argomenti, svolti in insegnamenti fondamentali: strutture algebriche di base, algebra lineare, calcolo delle probabilità, geometria euclidea e proiettiva, informatica e tecniche di programmazione, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie, topologia, geometria differenziale delle curve e delle superfici, funzioni di una variabile complessa, analisi numerica, fisica ed equazioni alle derivate parziali di base della fisica matematica.
A questa preparazione fa da complemento un'ampia possibilità di scelta di crediti formativi affini e integrativi, volta a consentire il conseguimento di ulteriori competenze anche in settori strategici per le applicazioni della matematica, quali l'informatica, la fisica, la biologia, la chimica, l'economia e l'ingegneria. Il primo tratto del percorso formativo introduce all'analisi matematica, alla geometria, all'algebra, nonché all'informatica, con alcuni elementi di probabilità, principalmente per modelli discreti. Lo studio delle tecniche di programmazione è supportato da attività laboratoriale.
L'affinamento di competenze più avanzate di matematica, con l'aggiunta di elementi modellistici e computazionali, nonché di conoscenze in campi affini alla matematica, portano al completamento del percorso formativo che si conclude con la prova finale, per la preparazione della quale si fornisce un'apposita assistenza didattica.
In tutto il percorso formativo sono previste attività tutoriali e seminariali volte ad affinare la capacità di risolvere problemi, a sviluppare autonomia di giudizio e abilità comunicative. Sono inoltre previste attività di laboratorio, sia in ambito informatico e computazionale che in ambito fisico.
Sbocchi professionali
I laureati nel corso di laurea in matematica potranno svolgere attività professionali: nelle aziende e nell'industria; nei laboratori e centri di ricerca; nel campo della diffusione della cultura scientifica; nel settore dei servizi; nella pubblica amministrazione; con vari ambiti di interesse tra cui quelli informatico, finanziario, ingegneristico, sanitario, della comunicazione, scientifico, accademico e, più in generale, in tutti i casi in cui siano utili una mentalità flessibile, competenze computazionali e informatiche, e una buona dimestichezza con la gestione, l'analisi ed il trattamento di dati numerici.
Tra i profili professionali accessibili: matematici e statistici; tecnici programmatori; tecnici amministratori di basi di dati; tecnici statistici; informatici e telematici.
E' inoltre possibile continuare la formazione in matematica attraverso un titolo di studio magistrale.
Condizione occupazionale (Indicatori di efficacia e livello di soddisfazione dei laureandi):
http://statistiche.almalaurea.it/universita/statistiche/trasparenza?CODICIONE=0580206203500001
Valutazione della didattica - Studenti
Anno accademico precedente
Riferimenti web e contatti
Sito Web della Macroarea: http://www.scienze.uniroma2.it/
Sito Web del Corso: http://www.mat.uniroma2.it/didattica/triennale.php
Coordinatore:
Prof.ssa Carla Manni
Email manni@mat.uniroma2.it
Segreteria didattica:
Dott.ssa Solange Barcaccia (Dipartimento di Matematica)
Tel.: +39 06 7259.4685
e-mail: barcacci@mat.uniroma2.it
Il corso di studio punta a fornire ai laureati una solida preparazione di base nei vari settori della matematica, che tenga conto non solo degli aspetti tecnici della disciplina ma anche di quelli culturali.
L'obiettivo del corso di studio è inoltre quello di formare laureati con ampia duttilità rispetto al mondo del lavoro e, al tempo stesso, con tutti i requisiti necessari per l'approfondimento degli studi in corsi di laurea magistrale in discipline matematiche e, eventualmente, anche in altre discipline affini. In dettaglio, gli studenti sono tenuti ad acquisire le conoscenze e competenze di base dei seguenti argomenti, svolti in insegnamenti fondamentali: strutture algebriche di base, algebra lineare, calcolo delle probabilita', geometria euclidea e proiettiva, informatica e tecniche di programmazione, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e piu' variabili reali, equazioni differenziali ordinarie, topologia, geometria differenziale delle curve e delle superfici, funzioni di una variabile complessa, analisi numerica, fisica ed equazioni alle derivate parziali di base della fisica matematica.
A questa preparazione fa da complemento un'ampia possibilita' di scelta di crediti formativi affini e integrativi, volta a consentire il conseguimento di ulteriori competenze anche in settori strategici per le applicazioni della matematica, quali l'informatica, la fisica, la biologia, la chimica, l'economia e l'ingegneria. Il primo tratto del percorso formativo introduce all'analisi matematica, alla geometria, all'algebra, nonché all'informatica.
Lo studio delle tecniche di programmazione è supportato da attività laboratoriale.
Successivamente, si sviluppano competenze più avanzate negli ambiti matematici citati e si introducono alcuni elementi di probabilità discreta, lo studio della fisica e della fisica matematica.
Infine, l'affinamento di tali competenze, con l'aggiunta di elementi modellistici e computazionali, nonché di conoscenze in campi affini alla matematica, porta al completamento del percorso formativo che si conclude con la prova finale, per la preparazione della quale si fornisce un'apposita assitenza didattica. Ogni insegnamento prevede esercitazioni ed una verifica finale che avviene, di norma, attraverso la valutazione di un elaborato scritto e/o un colloquio orale. In tutto il percorso formativo sono previste attività tutoriali e seminariali mirate, in particolare, ad affinare la capacità di risolvere problemi, a sviluppare autonomia di giudizio e abilità comunicative.
Sono inoltre previste attività di laboratorio, sia in ambito informatico e computazionale che in ambito fisico. Il manifesto degli studi determina la scansione temporale degli insegnamenti offerti e può prevedere l'eventuale articolazione in curricula.
Sono ammessi al corso di laurea gli studenti in possesso di un diploma di scuola secondaria superiore o di altro titolo di studio conseguito all'estero riconosciuto idoneo.
Il regolamento didattico del corso di laurea descrive in dettaglio gli argomenti di base per l'acquisizione di un'adeguata preparazione iniziale.
Tali argomenti sono contenuti in un sillabo annualmente aggiornato dal consiglio di corso di laurea.
Il regolamento didattico precisa le modalità con cui la struttura didattica competente verifica tali conoscenze e indica gli eventuali obblighi formativi aggiuntivi.
Corso di laurea - Area di Scienze MM.FF.NN.
- Accesso libero con prova di verifica obbligatoria delle conoscenze richieste per l'ammissione al corso.
L'esito della prova non preclude la possibilità di immatricolarsi - Classe L-35 - Il corso di studio punta a fornire ai laureati una solida preparazione di base nei vari settori della matematica, che tenga conto non solo degli aspetti tecnici della disciplina ma anche di quelli culturali. L'obiettivo del corso di studio è inoltre quello di formare laureati con ampia duttilità rispetto al mondo del lavoro e, al tempo stesso, con tutti i requisiti necessari per l'approfondimento degli studi in corsi di laurea magistrale in discipline matematiche e, eventualmente, anche in altre discipline affini.
In dettaglio, gli studenti sono tenuti ad acquisire le conoscenze e competenze di base dei seguenti argomenti, svolti in insegnamenti fondamentali: strutture algebriche di base, algebra lineare, calcolo delle probabilita', geometria euclidea e proiettiva, informatica e tecniche di programmazione, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e piu' variabili reali, equazioni differenziali ordinarie, topologia, geometria differenziale delle curve e delle superfici, funzioni di una variabile complessa, analisi numerica, fisica ed equazioni alle derivate parziali di base della fisica matematica. A questa preparazione fa da complemento un'ampia possibilita' di scelta di crediti formativi affini e integrativi, volta a consentire il conseguimento di ulteriori competenze anche in settori strategici per le applicazioni della matematica, quali l'informatica, la fisica, la biologia, la chimica, l'economia e l'ingegneria.
Il primo tratto del percorso formativo introduce all'analisi matematica, alla geometria, all'algebra, nonché all'informatica, con alcuni elementi di probabilità discreta. Lo studio delle tecniche di programmazione è supportato da attività laboratoriale. Successivamente, si sviluppano competenze più avanzate negli ambiti matematici citati e si introduce lo studio della fisica e della fisica matematica. Infine, l'affinamento di tali comptenze, con l'aggiunta di elementi modellistici e computazionali, nonché di conoscenze in campi affini alla matematica, portano al completamento del percorso formativo che si conclude con la prova finale, per la preparazione della quale si fornisce un'apposita assitenza didattica.
Ogni insegnamento prevede esercitazioni ed una verifica finale che avviene, di norma, attraverso la valutazione di un elaborato scritto e/o un colloquio orale.
In tutto il percorso formativo sono previste attività tutoriali e seminariali mirate, in particolare, ad affinare la capacità di risolvere problemi, a sviluppare autonomia di giudizio e abilità comunicative. Sono inoltre previste attività di laboratorio, sia in ambito informatico e computazionale che in ambito fisico.
Il manifesto degli studi determina la scansione temporale degli insegnamenti offerti e può prevedere l'eventuale articolazione in curricula. Sbocchi occupazionali: I laureati nel corso di laurea in matematica potranno svolgere attività professionali: nelle aziende e nell'industria; nei laboratori e centri di ricerca; nel campo della diffusione della cultura scientifica; nel settore dei servizi; nella pubblica amministrazione; con vari ambiti di interesse tra cui quelli informatico, finanziario, ingegneristico, sanitario, della comunicazione, scientifico, accademico e, più in generale, in tutti i casi in cui siano utili una mentalità flessibile, competenze computazionali e informatiche, e una buona dimestichezza con la gestione, l'analisi ed il trattamento di dati numerici. In particolare, hanno le competenze (o possono facilmente acquisire le eventuali conoscenze necessarie mancanti) per svolgere tutte le professioni nel punto 2.1.1.3 (Matematici e statistici), 3.1.1.3.1 (Tecnici programmatori), 3.1.1.3.4 (Tecnici amministratori di basi di dati), 3.1.1.4.0 (Tecnici statistici), e buona parte di quelle nel punto 2.1.1.4 (Informatici e telematici) della classificazione ISTAT delle professioni.
(Decreti sulle Classi, Art.
3, comma 7) Segreteria didattica: tel.
+39 06 72594685 e-mail: dida@mat.uniroma2.it sito del Corso di Laurea: http://www.mat.uniroma2.it/didattica/
La prova finale per il conseguimento della laurea in Matematica è, di norma, scelta dallo studente tra due tipi di prove: la redazione di una tesina o un esame di cultura matematica. Tesina.
La tesina consiste nella preparazione e redazione di un elaborato scritto su un argomento di matematica da concordare con un docente dell'Ateneo che svolge le funzioni di relatore.
La tesina deve vertere su tematiche non già coperte da corsi curricolari, o, altrimenti, prevedere un adeguato approfondimento da parte dello studente. Questo tipo di prova è consigliata, in particolare, agli studenti che intendano cercare un lavoro subito dopo la laurea. La tesina, che può essere redatta anche in lingua inglese, previo consenso del relatore e approvazione del coordinatore del corso di studio, viene discussa e valutata nella seduta di laurea. Esame di cultura.
L'esame di cultura consiste nel superamento di una prova scritta e di una conseguente prova orale.
La prova orale si tiene durante la seduta di laurea e verte su un argomento della prova scritta scelto dal laureando. Questo tipo di prova è particolarmente indicato per gli studenti che intendano proseguire gli studi con la Laurea Magistrale. La prova scritta dell'esame di cultura consiste nello svolgimento di temi e/o nella risoluzione di problemi concernenti conoscenze matematiche di base apprese durante il corso di studi.
Il relativo elaborato costituisce il documento scritto previsto dall'ordinamento per la prova finale. Per la preparazione all'esame di cultura il Corso di Studio attiva, nel secondo semestre di ogni anno accademico, uno specifico corso rivolto agli studenti del terzo anno.
Per tale corso viene costituita un'apposita commissione d'esame che cura lo svolgimento e la valutazione della prova scritta.
Almeno un membro di tale commissione entra a far parte della commissione di ciascuna seduta di laurea con funzioni di relatore. Ogni anno accademico verranno fissate cinque prove scritte per l'esame di cultura, da tenersi da sei settimane a 10 giorni prima delle cinque sedute ordinarie di laurea.
La commissione dell'esame di cultura può decidere di fissare altre prove oltre alle 5 previste.
La prova scritta dell'esame di cultura è superata se lo studente ottiene una valutazione numerica non inferiore a 18/30. Il superamento della prova scritta e' condizione necessaria per l'ammissione alla prova orale e permette allo studente di accedere alle sedute di laurea che si terranno nel mese dell'appello di laurea cui la prova e' riferita, e negli 11 mesi successivi.
A titolo di esempio, se uno studente supera la prova di cultura relativa ad un appello di laurea di ottobre di un certo anno, la prova sarà valida per tutti gli appelli di laurea che si terranno fino al settembre dell'anno successivo incluso. Nel caso non si verificassero queste condizioni lo studente dovrà ripetere la prova scritta.
Allo studente è consentito sostenere la prova scritta dell'esame di cultura al più tre volte nell'ambito del proprio corso di studi: sarà ritenuta valida la valutazione ottenuta nell'ultima prova consegnata.
Si intende che una prova scritta dell'esame di cultura è stata sostenuta se lo studente ha consegnato lo scritto relativo. Modalità diverse di prova finale possono essere autorizzate dal coordinatore del Corso di Studio, sulla base di una richiesta motivata.
In ogni caso, lo studente deve realizzare un documento scritto da discutere durante la seduta di laurea, con la supervisione di un docente del dipartimento con funzione di relatore.
Ad esempio, in relazione ad obiettivi specifici, e nel quadro di convenzioni che lo prevedano esplicitamente, lo studente può effettuare tirocini formativi presso aziende, strutture della pubblica amministrazione ed enti esterni, nonché soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
Il referente che ha curato lo svolgimento del tirocinio può svolgere la funzione di correlatore. Le sedute di laurea si svolgono in cinque appelli annuali, fissati ogni anno dal Corso di Studio e adeguatamente pubblicizzati.
Venti giorni prima dell'appello scelto per l'esame di laurea lo studente deve presentare domanda presso le segreterie studenti della Macroarea di Scienze dove adempirà alle formalità amministrative.
Il coordinatore del corso di studio attribuisce ad ogni studente che presenta domanda di Laurea, un docente del dipartimento con funzione di controrelatore.
Relatore, controrelatore ed eventuale correlatore, se non presenti alla seduta di laurea, inviano una relazione scritta sull'elaborato del candidato. La commissione per la valutazione dell'esame di laurea è composta da 5 commissari ed almeno 1 supplente.
Il Presidente della commissione di Laurea è il professore con maggiore anzianità di servizio tra i docenti della commissione. Punteggio finale.
Per la formazione del voto di laurea, la commissione di laurea calcola, anzitutto, la media dei voti, valutati in trentesimi e pesati secondo i crediti, ottenuti nelle unità didattiche il cui esame preveda una valutazione numerica.
Il punteggio derivante da tale media, convertito in centodecimi, può essere incrementato tenendo presente la carriera didattica dello studente fino ad un massimo di 4 punti suddivisi come segue: 2 punti per gli studenti che si laureino in corso al terzo anno nella sessione estiva od autunnale; 1 punto per gli studenti che si laureino in corso al terzo anno nelle due sessioni invernali (dicembre e marzo); 2 punti per la valutazione di un curriculum particolarmente meritevole (presenza significativa di lodi, borse di studio, premi, ...). Per gli studenti che scelgono come prova finale la tesina, la commissione ha la facoltà di incrementare ulteriormente il punteggio secondo la valutazione dell'elaborato scritto fino ad un massimo di 5 punti.
Su proposta del relatore, agli studenti che raggiungano il punteggio di 110 può essere attribuita, con voto unanime della commissione, la lode. Per gli studenti che scelgano come prova finale l'esame di cultura, verrà assegnato un ulteriore punteggio, P, fino ad un massimo di 7 punti, determinato come segue: detto X il voto in trentesimi della prova scritta, P e' dato da P=X/3-3 ed è quindi con un minimo di 3 ed un massimo di 7 punti. La commissione di laurea può decidere sulla base della prova orale di incrementare, diminuire o lasciare inalterato il punteggio P della prova scritta.
Eventuali variazioni vanno morivate con una relazione scritta del presidente della commissione.
Il punteggio così ottenuto viene sommato alla media convertita in centodecimi ed all'eventuale punteggio relativo ai meriti per la carriera secondo le modalità precedentemente previste.
Agli studenti che raggiungano il punteggio di 110 può essere attribuita, con voto unanime della commissione, la lode.
Sono ammessi al corso di laurea gli studenti in possesso di un diploma di scuola secondaria superiore o di altro titolo di studio conseguito all'estero riconosciuto idoneo.
Per l'ammissione al corso di Laurea in matematica viene presupposto il possesso, ovvero richiesta l'acquisizione, di una adeguata preparazione iniziale sugli argomenti di base.
Contestualmente all'immatricolazione, la struttura didattica propone un test di verifica dell'acquisizione della preparazione iniziale di base.
Il possesso delle conoscenze e competenze richieste sarà verificabile con una prova scritta eventualmente ripetibile in periodi diversi dell'anno ed eventualmente coordinata a livello nazionale.
Coloro che, pur essendosi iscritti al test di verifica delle conoscenze, non superano la prova, possono immatricolarsi, ma con l'obbligo di superare, come prima prova, un esame scelto tra Analisi Matematica 1, Geometria 1 e Algebra 1.
Maggiori informazioni sono reperibili sul sito di dipartimento.
Numeri naturali, interi e razionali, numeri reali: proprietà e costruzione a partire dai numeri naturali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri complessi. Concetto di funzione. Funzioni monotone. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Logaritmo. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Definizione di successione. Successioni monotone. Limiti di funzioni di successioni. Massimo e minimo limite. Insiemi compatti. Numero di Nepero: “e”. Infiniti e infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Serie numeriche e loro convergenza. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Proprietà delle funzioni continue ed invertibili sugli intervalli e sui compatti. Teorema di esistenza degli zeri. Metodo di bisezione e teorema di Weierstrass sui massimi e minimi delle funzioni continue sui compatti. Derivata di una funzione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, Hospital. Studio del grafico di funzioni reali di variabile reale; funzioni convesse; Formula di Taylor e sue applicazioni. Funzioni primitive; integrali indefiniti, finiti e impropri; teorema fondamentale del calcolo; integrali per sostituzione e per parti; calcolo di aree; criteri di integrabilità; criterio di confronto fra serie ed integrali impropri.
In questo corso discuteremo la teoria degli insiemi, certi aspetti della teoria elementare dei numeri, e la teoria di base dei gruppi e degli anelli Per ulteriori informazioni si veda la pagina web del corso.
1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi. Dimensione. Somme di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Sistemi omogenei. Sistemi equivalenti. Sistemi ridotti e normali. Risoluzione di un sistema col metodo di eliminazione di Gauss. Matrici ed applicazioni lineari. Applicazioni lineari definite da matrici. Prodotto tra matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata non degenere. Matrici ortogonali. Formule di cambiamento di basi in uno spazio vettoriale di dimensione finita. Determinanti e loro applicazioni allo studio dei sistemi lineari. Sviluppo di un determinante con la regola di Laplace. Teorema di Binet. Metodo di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante. Teorema degli orlati. Caratterizzazione del rango di una matrice mediante i determinanti: minori fondamentali. Teorema di Cramer. Calcolo della inversa di una matrice quadrata non degenere su un campo. 2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Sistemi lineari di equazioni di sottospazi. Equazioni parametriche dei sottospazi. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi. Sottospazi paralleli, sghembi e incidenti. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinità. Cambiamenti di coordinate. Orientazioni di uno spazio affine reale. Spazi euclidei. Prodotti scalari euclidei. L'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Il gruppo delle isometrie. Ortogonalità. Sistemi di coordinate cartesiane ortonormali. Angoli e loro funzioni trigonometriche. Distanze tra sottospazi. Prodotti vettoriali. Calcolo di aree e volumi. 3. Elementi di storia
Numeri complessi. Integrazione secondo Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrali impropri. Serie numeriche reali e complesse. Serie di potenze e di Taylor. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Elementi di topologia di R^n. Limiti e continuità per funzioni di più variabili a valori scalari o vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali scalari e vettoriali: derivate parziali e direzionali, differenziabilità, condizioni necessarie e condizioni sufficienti di differenziabiltà. Gradiente e matrice jacobiana. Differenziale delle funzioni composte.
Algebra lineare: complessificazione di spazi vettoriali reali, spazi vettoriali complessi. Prodotti hermitiani e forme quadratiche su uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali quoziente. Richiami su spazio duale di uno spazio vettoriale, biduale. Forma canonica di Jordan di un endomorfismo. Geometria affine, euclidea e proiettiva: isometrie dello spazio cartesiano reale, spazio affine e cartesiano complesso. Spazi proiettivi reali e complessi. Sottospazi proiettivi e regola di Grassmann. Proiettività. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee. Teorema fondamentale delle proiettività e dei riferimenti. Spazio proiettivo duale. Relazioni tra geometria affine e geometria proiettiva. Complessificazione di uno spazio proiettivo reale. Coniche affini, euclidee e proiettive. Elementi dello sviluppo delle discipline algebriche e geometriche nell'era moderna.
Esercizi di algebra 2
Introduzione al corso. Metodo scientifico e sviluppo della fisica. Fisica sperimentale e concetto di misura. Ordine di grandezza. Numeri grandi e numeri piccoli: potenze di 10. Unità di misura e grandezze fisiche, analisi dimensionale. Sistema internazionale (SI). Grandezze scalari e vettoriali. Vettori. Operazioni con i vettori: somma, prodotto (scalare e vettoriale). Le caratteristiche dello spazio-tempo e descrizione qualitativa del movimento. Sistemi di riferimento. Punto materiale. Cinematica del punto materiale. Spostamento, velocità, accelerazione. Moto rettilineo uniforme. Moto uniformemente accelerato. Moto verticale di un corpo. Moto nel piano. Posizione e velocità. Moto parabolico: moto del proiettile. Moto circolare uniforme. La velocità angolare come vettore. Accelerazione tangenziale e normale per un moto qualunque. Moto armonico semplice. Legame tra moto armonico semplice e moto circolare uniforme. Dinamica del punto materiale: principi della dinamica. Definizione operativa di forza e sua natura vettoriale. Diagramma delle forze. Forze, composizione delle forze, forza risultante. Azione dinamiche delle forze. Forza peso, forza elastica. Tensioni. Reazioni vincolari. Forza di attrito: statico e dinamico. Forze centripete. Piano inclinato. Forze di attrito viscoso. Dinamica del moto circolare uniforme. Massa inerziale e gravitazionale. Pendolo semplice. Forza elastica e moto armonico in una dimensione. Quantità di moto. Impulso. III principio della dinamica. Moti relativi. Sistemi di riferimento. Composizione delle velocità. Composizione delle accelerazioni. Sistemi di riferimento inerziali. Relatività galileiana. Forze apparenti. La forza di Coriolis. Moti relativi: sistemi di riferimento non inerziali e pseudo forze. Lavoro. Potenza. Energia cinetica. Teorema delle forze vive. Forze conservative. La conservazione dell'energia meccanica totale. Energia potenziale gravitazionale, elastica. Energia potenziale ed equilibrio. Lavoro delle forze non conservative. Pendolo semplice descritto in termini di energia meccanica. Leggi di Keplero e Gravitazione universale. Concetto di campo gravitazionale. Energia del campo gravitazionale. Calcolo dell’accelerazione di gravità. Velocità di fuga. Definizione di momento angolare. Il momento di una forza. Dinamica dei sistemi: sistema discreto di punti materiali. Forze centrali. Forze interne e forze esterne. Centro di massa. Quantità di moto totale del sistema. Teorema del centro di massa. Conservazione della quantità di moto. Teorema del momento angolare. Il sistema di riferimento del centro di massa. Energia cinetica e sistema di riferimento del centro di massa. Teoremi di König. Equazioni cardinali per sistemi discreti. Sistemi discreti di punti materiali: Lavoro ed energia. Conservazione dell’energia meccanica. Sistemi di forze parallele e centro di simmetria. Baricentro. Equilibrio. Corpi rigido. Densità e posizione del centro di massa. Condizioni di equilibrio per un corpo rigido. Assi di simmetria. Moto di traslazione e rotazione in un corpo rigido. Corpi rigidi dinamica del moto di rotazione e momento angolare. Momento d’inerzia: Teorema di Huyghens-Steiner. Energia cinetica e lavoro per un moto roto-traslazionale. Pendolo di torsione e pendolo composto: studio del moto. Moto di rotazione con asse variabile: condizioni di puro rotolamento. Attrito volvente. Proprietà elastiche del solidi: legge di Hooke e modulo di Young. Giroscopio studio del moto di precessione in assenza e presenza di attrito. Urti elastici, anelastici e completamente anelastici tra punti materiali e tra punti materiali e corpi rigidi. Fluidi: definizione. Forze di volume e di superficie. Forze di superficie: pressione e sforzo di taglio. Viscosità. Definizione di fluido ideale. Statica dei fluidi. Legge di Stevino. Paradosso idrostatico. Esperimento di Torricelli: misura della pressione atmosferica. Manometro differenziale. Principio di Pascal. Martinetto idraulico. Legge di Archimede. Condizioni di galleggiamento. Peso apparente. Dipendenza della pressione dell’aria dall’altezza rispetto al livello del mare. Elementi di fluidodinamica: descrizione lagrangiana ed euleriana. Moto stazionario ed irrotazionale. Definizione di: linee di corrente e tubo di flusso per un fluido in moto stazionario. Equazione di continuità (Legge di Leonardo). Teorema di Bernoulli. Legge di Venturi. Spinta aerodinamica. Venturimetro, Tubo di Pitot. Teorema di Torricelli. Fluidi reali: effetto della viscosità. Moto laminare. Esperimento di Reynolds. Legge di Hagen-Poiseuille. Caratteristiche del moto in regime turbolento. Moti dei corpi nei fluidi. Paradosso di D’Alembert. Tensione superficiale. Termodinamica: introduzione alla termodinamica. Definizione di sistema termodinamico. Variabili termodinamiche. Equilibrio termodinamico. Descrizione macroscopica e microscopica (termodinamica statistica) dei processi termodinamici. Funzioni di stato termodinamico. Principio dell’equilibrio termico. Definizione di temperatura. Misura della temperatura. Scale di temperatura: Celsius e Farenheit. Termometro campione a gas a volume costante. Definizione di temperatura assoluta. Grado kelvin. Dilatazione termica: lineare e volumica. Definizione di Calore. Capacità termica e calore specifico per i solidi e i liquidi. Scambi termici ed equilibrio. Misura del calore: calorimetro a ghiaccio. Transizioni di fase, calore latente. Trasmissione del calore: conduzione (legge di Fourier) e conducibilità termica (k), convezione e irraggiamento. Piano (p,V). Calore e lavoro. Lavoro di una trasformazione termodinamica e suo significato fisico nel piano (p,V). Primo principio della termodinamica. Equivalente meccanico del calore (esperimento di Joule). Definizione di energia interna come funzione di stato. Gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. Primo principio della termodinamica. Trasformazioni termodinamiche per i gas perfetti (adiabatica, isocora, isobara, isoterma, espansione libera) e loro rappresentazione nel piano (p,V). Cicli termodinamici. Energia interna per un gas perfetto (espansione libera, esperimento di Joule). Calore specifico a pressione e volume costante, relazione di Mayer. Trasformazione adiabatica qualsiasi. Trasformazioni politropiche. Teoria cinetica dei gas calcolo della pressione e temperatura, velocità media. Principio di equipartizione dell’energia. Gas ideali: energia cinetica media, energia interna. Significato cinetico di temperatura. Gas reali: coefficienti del viriale, equazione di van der Waals. Cicli termodinamici. Macchine termiche e macchine frigorifere. Ciclo di Carnot per un gas ideale. Rendimento di un ciclo di Carnot. Ciclo frigorifero e definizione coefficiente di prestazione del ciclo. Secondo principio della termodinamica: enunciati di Kelvin-Planck e Celusius. Processi reversibili ed irreversibili. Teorema di Carnot. Studio del rendimento di una macchina termica. Temperatura termodinamica assoluta. Teorema di Clausius. La funzioni di stato Entropia. Processi reversibili ed irreversibili. Entropia e rendimento. Traccia di una trasformazione ed energia inutilizzabile. Principio di aumento dell’entropia. Secondo principio della termodinamica ed entropia. Entropia per un gas ideale. Entropia e probabilità. Entropia e tempo. Piano (T,S). Terzo principio della termodinamica. Enunciati di Nernst e Planck. Considerazioni generali. Terzo principio e probabilità.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili reali. Integrazione di Riemann in piu' variabili e misura di Peano-Jordan. Curve in R^n. Forme differenziali. Teorema delle funzioni implicite.
Parte 1: Topologia generale. Spazi topologici, mappe continue, aperte, chiuse, omeomorfismi. Base di una topologia. Spazi metrici. Primo e secondo numerabilità. Topologia di sottospazio. Topologia prodotto. Topologia quoziente. Spazi di Hausdorff, assiomi di separazione. Compattezza. Compattezza sequenziale, totale limitatezza, teorema di Ascoli-Arzelà. Compattificazione di Alexandroff. Connessione e componenti connesse. Connessione per archi. Parte 2: Introduzione alla topologia algebrica. Omotopie, equivalenza omotopica, retratti. Gruppo fondamentale, omomorfismo indotto. Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema di monodromia. Teorema di Brouwer e teorema fondamentale dell’algebra. Rivestimenti, sottogruppo caratteristico, teorema di sollevamento, classificazione dei rivestimenti. Azioni di gruppi, trasformazioni di rivestimento, teoremi di esistenza dei rivestimenti. Teorema di Van Kampen. Azione di gruppo. Spazi prodotto. Spazi compatti. Spazi di Hausdorff. Spazi connessi. Varieta’ topologiche. Classificazione delle superfici. Spazi connessi per cammini. Omotopia di funzioni continue. Il gruppo fondamentale. Il Teorema del punto fisso di Brower. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Rivestimenti. Il gruppo fondamentale di uno spazio di rivestimento e di uno spazio di orbite. Il Teorema di Seifert Van Kampen. Teorema di Van Kampen.
introduzione ai modelli matematici di fenomeni naturali. Studio qualitativo delle equazioni differenziali ordinarie.Meccanica del punto materiale. Cinematica del punto in un riferimento dato. Dinamica di un punto materiale in un riferimento galileiano.Moti unidimensionali. Problema inverso. Equilibrio e stabilità. Moti centrali. Problema di Keplero. Determinazione dell'orbita.Generalita' sui sistemi meccanici. Equazioni cardinali. Vincoli, sistemi vincolati. Cinematica rigida. Moti relativi. Moti rispetto a riferimenti non inerziali. Forze apparenti. Prime nozioni di statica e dinamica del corpo rigido. Sistemi Lagrangiani.
Introduzione e generalità. Spazi di probabilità, assiomi fondamentali, probabilità condizionata, indipendenza, formula di Bayes. Variabili aleatorie: valore atteso, varianza, densità discreta, funzione di ripartizione. Variabili aleatorie discrete: Bernoulli, Binomiale, Poisson, ipergeometrica, geometrica, binomiale negativa. Variabili aleatorie continue: funzione di densità. Variabile aleatoria uniforme, esponenziale, Gamma, Gaussiana. Disuguaglianze fondamentali. Convergenza e teoremi limite: legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale. Cenni alle catene di Markov.
1. Spazi metrici. La funzione distanza da un insieme. Spazi metrici compatti e completi. 2. Equazioni differenziali. Richiami sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine e sulle equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy per sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Teorema di esistenza e unicita' di Picard. Prolungamento delle soluzioni. Sistemi differenziali lineari. Struttura affine dello spazio delle soluzioni. Dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. Formula di variazioni delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Equazioni a coefficienti costanti: soluzione nel caso omogeneo e in quello non omogeneo. 3. Successioni e serie di funzioni. Generalita' sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Scambio di somma e derivata, di somma e integrale. Serie di potenze. Funzioni analitiche. Serie di Fourier. Funzioni periodiche. Sviluppi in serie di Fourier. 4. Superficie. Porzioni di superficie regolare. Piano tangente e versore normale. Superficie cartesiana e superficie di rotazione. Parametrizzazioni equivalenti e area di una porzione di superficie regolare. Integrale di una funzione continua su una porzione di superficie regolare. Teoremi di Gauss-Green e Stokes. Formula di Gauss-Green nel piano. Punti di estremo vincolato e metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo vincolato.
''il docente e il codocente si ripartiranno gli argomenti del corso, tenendo conto delle esigenze didattiche e in modo proporzionalmente adeguato all'impegno didattico loro richiesto'' Algebra tensoriale. Curve differenziabili. Lunghezza di un arco di curve e parametro arco. Curvatura e torsione. Formule di Frenet. Teorema di esistenza e unicita'. Superfici regolari nello spazio. Forme differenziali. Piano tangente. Prima forma fondamentale. Area di una superficie regolare. Mappa di Gauss. La seconda forma fondamentale. Il Theorema Egregium di Gauss. Formule di Gauss-Weingarten. Teorema di esistenza e unicita'. Trasporto parallelo e geodetiche. Il teorema di Gauss-Bonnet. Qualche teorema di classificazione. Quadriche. Definizione di varieta' differenziabile. Gruppi di Lie e azioni di gruppi.
Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos e logaritmo sui complessi. Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato. Integrali curvilinei complessi. Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f(z)dz. Funzioni olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di potenze. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema integrale di Cauchy, primitive di funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze. Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra. Il principio dell'unicita' per funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Molteplicita' degli zeri di funzioni olomorfe. L'inversione delle funzioni olomorfe. Teorema dell'applicazione aperta. Principio del massimo. Teorema di convergenza di Weierstrass. Teorema di Montel. Punti singolari isolati, sviluppo in serie di Laurent, classificazione delle singolarita'. Residui, Funzioni meromorfe, principio dell'argomento. Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann.
L’equazione di diffusione: Generalità. Questioni di unicità. Il principio di massimo. La soluzione fondamentale. Passeggiata aleatoria simmetrica e moto Browniano. Diffusione con trasporto e reazione. Il problema di Cauchy globale. Equazione di Laplace: Generalità. Funzioni armoniche nel discreto e nel continuo, proprietà di media e principio di massimo. Formula di Poisson. Diseguaglianza di Harnack e Teorema di Liouville. Soluzione fondamentale e funzione di Green. Formule di rappresentazione di Green. Cenni al problema esterno. Equazioni del primo ordine: Equazione lineare del trasporto. Modelli non lineari e metodo delle caratteristiche. Onde di shock e condizione di Rankine-Hugoniot. Problema dell’unicità e cenni alla condizione di entropia. Trasformata di Fourier. Formula di inversione. Teorema di Plancherel. Applicazioni alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. Equazione delle onde: Corda vibrante. Formula di D’Alembert. Effetti di dissipazione e dispersione. Pacchetti d’onda e velocità di gruppo. Equazione delle onde in più di una dimensione. Soluzione fondamentale in 3 dimensioni. Formula di Kirchoff.
approfondimento della letteratura matematica relativa al tipo di prova scelta
Calcolo delle probabilita': distribuzioni importanti, congiunte, di funzioni di piu' variabili. Teoria asintotica, convergenza in distribuzione ed in probabilita', metodo delta. Statistica matematica: modelli statistici, statistiche sufficienti, principi d’inferenza. Stimatori puntuali, intervalli di confidenza, test d’ipotesi. Proprietà asintotiche. Modelli di regressione. Breve introduzione a R.
Verranno presentati i principali sistemi crittografici che si basano sulla matematica, illustrando le tecniche su cui essi si basano e i principali algoritmi che permettono di risolvere problemi computazionali ad essi correlati. In particolare, si utilizzeranno l'aritmetica modulare e la teoria dei campi per discutere test di primalita', algoritmi di fattorizzazione, metodi di calcolo di logaritmi discreti.
Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, in funzione delle conoscenze pregresse e degli interessi di coloro che frequenteranno il corso. [1] Estensioni di campi; chiusure algebriche, estensioni di immersioni. [2] Campi di spezzamento, estensioni normali. Separabilità: estensioni separabili, estensioni puramente inseparabili. Fattorizzazioni di estensioni. [3] Corrispondenze di Galois per un'estensione arbitraria: proprietà fondamentali. Estensioni di Galois. Proprietà specifiche delle corrispondenze di Galois per un'estensione di Galois. [4] Teoria di Galois per estensioni di Galois finite. [5] Estensioni abeliane. Radici dell'unità; estensioni ciclotomiche, polinomi ciclotomici. Estensioni cicliche e loro caratterizzazione. Gruppi risolubili e loro proprietà fondamentali. Estensioni risolubili. Estensioni risolubili per radicali. Teorema di Abel-Ruffini. Gruppo di Galois di un polinomio; la (non-)risolubilità per radicali delle equazioni algebriche. [6] Gruppi topologici (generalità). Teoria di Galois per estensioni di Galois (algebriche) infinite. Topologia di Krull in un gruppo di Galois. Proprietà delle corrispondenze di Galois per un'estensione di Galois (algebrica) infinita. Completamenti e limiti per gruppi topologici; gruppi profiniti. Gruppi di Galois - di un'estensione di Galois (algebrica) - come gruppi profiniti.
CW complessi. Gruppo fondamentale. Omologia simpliciale. Omologia singolare. Omologia cellulare. Caratteristica di Eulero.
Algebre di matrici di bassa complessita' computazionale, metodi iterativi quasi-Newton per la minimizzazione di funzioni, metodi di tipo gradiente coniugato e tecniche di precondizionamento per sistemi lineari di grandi dimensioni, il caso delle matrici di Toeplitz, migliore approssimazione di una matrice e/o formule di dislocamento in algebre di bassa complessita' Funzioni di matrici
Metodi classici del Calcolo delle Variazioni. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange, ed esempi di loro soluzioni per problemi classici. Esempi di non esistenza. Metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Introduzione alle soluzioni deboli, agli spazi di Sobolev e alla teoria delle distribuzioni. Convergenze deboli e proprietà di semicontinuità. Teoremi di esistenza. Ruolo della convessità. Problemi con mancanza di esistenza. Soluzioni generalizzate e rilassamento. Applicazioni. Cenni alla convergenza di funzionali.
Oggetti e loro caratteristiche. L'interfaccia di una classe. Invarianti e altri elementi di logica. Creazione di oggetti. Assegnazione, riferimento e struttura degli oggetti. Strutture di controllo. Astrazione. Modello dinamico. Ereditarieta' e genericita'. Ricorsione. Ereditarietà multipla. Programmazione guidata dagli eventi ed agenti.
L'obiettivo del corso e` la valutazione e la copertura delle opzioni europee ed americane quando il modello di mercato e` scelto nella classe dei modelli discreti, sia in tempo che in spazio. La prima parte del corso e` dedicata a cenni di teoria della misura ed approfondimenti di calcolo delle probabilita` (sigma-algebre e funzioni misurabili, spazi di probabilita` e variabili aleatorie, speranza condizionale, martingale, tempi d'arresto). Successivamente viene introdotto il modello discreto per la descrizione dei mercati finanziari e per lo studio dell'arbitraggio e della completezza del mercato. Particolare enfasi e` data al modello di Cox, Ross e Rubinstein. La parte finale del corso e` dedicata ai metodi numerici, anche Monte Carlo.
Spazi topologici. Spazi vettoriali topologici e topologie deboli. Spazi Normati Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e operatori. Teoria spettrale per operatori su spazi di Hilbert. Cenni alla teoria della C*-Algebre Applicazioni alla Meccanica Quantistica.
